Question

【題目】在矩形ABCD中，將點A翻折到對角線BD上的點M處，折痕BE交AD于點E．將點C翻折到對角線BD上的點N處，折痕DF交BC于點F．

（1）求證：四邊形BFDE為平行四邊形；

（2）若四邊形BFDE為菱形，且AB＝2，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根據平行四邊形判定推出即可．

（2）

【解析】

（1）證△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根據平行四邊形判定推出即可．

（2）求出∠ABE=30°，根據直角三角形性質求出AE、BE，即可求出答案．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD．∴∠ABD=∠CDB．

∵在矩形ABCD中，將點A翻折到對角線BD上的點M處，折痕BE交AD于點E．將點C翻折到對角線BD上的點N處，

∴∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF=∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．

在△ABE和△CDF中，∵，

∴△ABE≌△CDF（ASA）．∴AE=CF．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC．

∴DE=BF，DE∥BF．∴四邊形BFDE為平行四邊形．

（2）∵四邊形BFDE為為菱形，∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°．∴∠ABE=30°．

∵∠A=90°，AB=2，∴，．

∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=．