Question

【題目】閱讀下面材料，完成（1）-（3）題

數學課上，老師出示了這樣一道題：如圖，△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，連接DC、BE交于點F，過A作AG⊥DC于點G，探究線段FG、FE、FC之間的數量關系，并證明．

同學們經過思考后，交流了自已的想法：

小明：“通過觀察和度量，發現線段BE與線段DC相等．”

小偉：“通過觀察發現，∠AFE與α存在某種數量關系．”

老師：“通過構造全等三角形，從而可以探究出線段FG、FE、FC之間的數量關系．”

（1）求證：BE＝CD；

（2）求∠AFE的度數（用含α的式子表示）；

（3）探究線段FG、FE、FC之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠AFE＝；（3）EF＝FC+2GF，見解析

【解析】

（1）由∠DAB＝∠CAE＝α，可得∠DAC＝∠BAE，根據“SAS”可證△ADC≌△ABE，可得DC＝BE；

（2）由△ADC≌△ABE可得∠AEF＝∠ACD，即可證點A，點E，點C，點F四點共圓，可得∠AFE＝∠ACE，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可求∠AFE的度數；

（3）結論：EF＝FC+2GF．由題意可得∠AFD＝＝∠AFE，過點作AH⊥BE，可證△AGF≌△AHF，可得AG＝AH，GF＝HF，即可證Rt△AGC≌Rt△AHE，可得GC＝HE，由EF﹣FC＝2GF可得結論．

證明：（1）∵∠DAB＝∠CAE＝α，

∴∠DAC＝∠BAE，且AD＝AB，AC＝AE

∴△ADC≌△ABE（SAS）

∴DC＝BE．

（2）∵△ADC≌△ABE

∴∠AEF＝∠ACD

∴點A，點E，點C，點F四點共圓

∴∠AFE＝∠ACE

∵AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α

∴∠ACE＝，

∴∠AFE＝．

（3）結論：EF＝FC+2GF．

理由：∵△ADC≌△ABE

∴∠ADC＝∠ABE

∴點A，點D，點B，點F四點共圓

∴∠AFD＝∠ABD

∵AB＝AD，∠DAB＝∠CAE＝α

∴∠ABD＝，

∴∠AFD＝，

∴∠AFE＝∠AFD

如圖，過點作AH⊥BE，

∵∠AFE＝∠AFD，∠AGF＝∠AHF，AF＝AF

∴△AGF≌△AHF（AAS）

∴AG＝AH，GF＝HF，

∵AG＝AH，AE＝AC

∴Rt△AGC≌Rt△AHE（HL）

∴GC＝HE

∵EF﹣FC＝HE+FH﹣FC＝GC+FH﹣FC＝GF+FC+FH﹣FC＝2GF，

∴EF＝FC+2GF．