Question

我市墊江縣種植牡丹歷史悠久．為了提高農戶收入，該縣決定在現有基礎上開荒種植牡丹并實行政府補貼，規定每新種植一畝牡丹一次性補貼農戶若干元，種植畝數y（畝）與補貼數額x（元）之間成一次函數關系y=8x+80．經調查，隨著種植規模不斷增加，每畝牡丹的收益會相應降低，補貼政策實施前每畝牡丹的收益為3000元，而每補貼10元（補貼數為10元的整數倍），每畝牡丹的收益會相應減少30元．
（1）求政府補貼政策實施后，每畝牡丹的收益z（元）與政府補貼數額x（元）之間的函數關系式；
（2）要使全縣新種植的牡丹總收益W元最大，又要從政府的角度出發，政府應將每畝補貼數額x定為多少元？并求出總收益W的最大值和此時種植畝數；（總收益=每畝收益×畝數）
（3）在（2）問中取得最大總收益的情況下，為了發展旅游業，需占用其中不超過50畝的新種牡丹園，利用其樹間空地種植新品種“黑桃皇后”．已知引進該新品種平均每畝的費用為530元，此外還要購置其它設備，這項費用（元）等于種植面積（畝）的平方的25倍．這樣混種了“黑桃皇后”的這部分土地比原來種植單一品種牡丹時每畝的平均收益增加了2000元，這部分混種土地在扣除所有費用后總收益為85000元．求混種牡丹的土地有多少畝？（結果精確到個位）
（參考數據：）

Answer 1

解：（1）依題意得：
z=3000-×30=-3x+3000；

（2）W=y•z=（8x+80）（-3x+3000）
=-24x²+23760x+240000
=-24（x²-990x+495²-495²）+240000
=-24（x-495）²+6120600
∵x為10的整數倍
∴當x=490或x=500時，W_最大=6120000
∵從政府角度出發
∴當x=490時，W_最大=6120000，
此時種植y=8×490+80=4000畝；

（3）此時平均每畝收益=1530（元），
設混種牡丹的土地m畝，則
（1530+2000）•m-530m-25m²=85000
m²-120m+3400=0
解得：m=60±10，
∴m₁=60+10≈74＞50，
m₂=60-10≈46，
答：混種牡丹的土地有46畝．
分析：（1）首先根據該縣補貼政策實施前每畝牡丹的收益為3000元，而每補貼10元（補貼數為10元的整數倍），每畝牡丹的收益會相應減少30元，由此可以得到z=3000-×30，化簡即可得到函數關系式；
（2）根據題目條件知道W=y•z，然后分別把（1）中的函數關系式代入其中即可得到W關于x的二次函數，然后利用二次函數的性質即可解決問題；
（3）此時平均每畝收益=1530（元），設混種牡丹的土地m畝，則根據題意可以列出方程（1530+2000）•m-530m-25m²=85000，解方程即可求出m，也就求出了混種牡丹的土地有多少畝．
點評：此題考查了二次函數在實際生活中的應用、一元二次方程在實際中的應用、待定系數法確定一次函數的解析式等知識，綜合性比較強，解題時首先要正確理解題意，準確把握題目中的數量關系，利用這些數量關系分別確定函數關系式和列出方程解決問題．