Question

如圖，直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點；直線與AB交于點C，與過點A且平行于y軸的直線交于點D.點E從點A出發，以每秒1個單位的速度沿x軸向左運動.過點E作x軸的垂線，分別交直線AB、OD于P、Q兩點，以PQ為邊向右作正方形PQMN.設正方形PQMN與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點E的運動時間為t（秒）.

（1）求點C的坐標.

（2）當0<t<5時，求S與t之間的函數關系式.

（3）求（2）中S的最大值.

（4）當t>0時，直接寫出點（4，）在正方形PQMN內部時t的取值范圍.

【參考公式：二次函數y=ax²+bx+c圖象的頂點坐標為（）.】

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由題意，得解得

∴C（3,）.                                      

（2）根據題意，得AE=t，OE=8-t.

∴點Q的縱坐標為(8-t)，點P的縱坐標為t，

∴PQ= (8-t)-t=10-2t.

當MN在AD上時，10-2t=t，∴t=.               

當0<t≤時，S=t(10-2t)，即S=-2t²+10t.

當≤t<5時，S=(10-2t)²，即S=4t²-40t+100.          

（3）當0<t≤時，S=-2（t-）²+，∴t=時，S最大值=.

當≤t<5時，S=4(t-5)²，∵t<5時，S隨t的增大而減小，

∴t=時，S最大值=.

∵>，∴S的最大值為.               

（4）4<t<或t>6.                                 

【解析】（1）由于點C是直線與直線的交點，把兩直線組成方程組即可

（2）需要分情況討論：①當0<t≤時，正方形PQMN與△ACD重疊部分是矩形，用t的代數式表示出矩形的長和寬即可，②當≤t<5時，正方形PQMN與△ACD重疊部分是正方形，用t的代數式表示出正方形的邊長即可

（3）由（2）中的s與t的關系式中，根據二次函數的最值易解決

（4）考慮邊界即可