Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A1BC1．

（1）如圖1，當點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數；

（2）如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為16，求△CBC1的面積；

（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的對應點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值之和．

Answer 1

【答案】（1）90° （2）25 （3）

【解析】

（1）由旋轉的性質可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性質，即可求得∠CC1A1的度數；

（2）由旋轉的性質可得：△ABC≌△A1BC1，易證得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面積；

（3）由①當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小；②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值．

解：（1）由旋轉的性質可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，

∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，

∴∠CC1A1＝∠CC1B+∠A1C1B＝45°+45°＝90°；

（2）∵△ABC≌△A1BC1，

∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，

∴，∠ABC+∠ABC1＝∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1＝∠CBC1，

∴△ABA1∽△CBC1，

∴，

∵S△ABA1＝16，

∴S△CBC1＝25；

（3）如圖，過點B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，

∴點D在線段AC上，

在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝；

①當P在AC上運動至BP⊥AC時，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小，最小值為：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣2；

②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，最大值為：EP1＝BC+BE＝2+5＝7；

因此，線段EP1長度的最大值與最小值的和為：7+﹣2=．