Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=3，動點P在AB上運動，以點P為圓心，PA為半徑畫⊙P交AC于點Q．
（1）比較AP，AQ的大小，并證明你的結論；
（2）當⊙P與BC相切時，求AP的長，并求此時弓形（陰影部分）的面積．

Answer 1

分析：（1）Rt△ABC中，根據AB、AC的長，易證得∠A=60°；若連接PQ，則△PAQ是等邊三角形，由此可得出AP、AQ的大小關系．
（2）當⊙P與BC相切時，若切點為E，在Rt△PBE中，PB=2PE=2PA，由此可求出⊙P的半徑；那么陰影部分的面積可由扇形PAQ和等邊△PAQ的面積差求得．

解答：解：（1）AP=AQ，證明如下：（1分）
∵∠C=90°，AB=6，AC=3，
∴∠A=60°（2分）
連接PQ，
∴△PQA是等邊三角形，即AP=AQ；（3分）

（2）當⊙P與BC相切時，如圖，設切點為E，連接PE，則PE⊥BC，（4分）
∴PE∥AC，
∴∠EPB=∠A=60°，
∴PB=2PE=2AP（5分）
即AP=6÷3=2，（6分）
S_弧=S_扇形PQA-S_三角形PQA=

1

6

π×22-

3

4

×22=

2

3

π-

3

．（8分）

點評：此題主要考查了直角三角形的性質、切線的性質以及扇形的面積公式等．