Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，四邊形EBCF是平行四邊形，D為AC的中點．
求證：四邊形AECF是菱形．

Answer 1

分析：根據平行四邊形性質得出EF∥BC，CF∥AB，推出∠FCD=∠EAD，證△FCD≌△EAD，推出CF=AE，得出平行四邊形AECF，求出EF⊥AC，即可得出四邊形是菱形．

解答：證明：∵四邊形EBCF是平行四邊形，
∴EF∥BC，CF∥AB，
∴∠FCD=∠EAD，
∵D為AC的中點，
∴AD=DC，
在△FCD和△EAD中，

∠FCD=∠EAD CD=AD ∠FDC=∠EDA

，
∴△FCD≌△EAD（ASA），
∴CF=AE，
∵CF∥AB（即CF∥AE），
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，EF∥BC，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是菱形．

點評：本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，平行線的性質等知識點的綜合運用．