Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連結(jié)DE并延長，與BC的延長線交于點F．
（1）求證：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求sinA的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)OE．

∵AC切⊙O于E，

∴OE⊥AC，

又∵∠ACB=90°即BC⊥AC，

∴OE∥BC

∴∠OED=∠F．

又∵OD=OE，

∴∠OED=∠ODE，

∴∠ODE=∠F

∴BD=BF

（2）解：設(shè)⊙O半徑為r，由（1）知，OE∥BC得△AOE∽△ABC．

∴ ，即 ，

∴r2﹣r﹣12=0，

解之得r1=4，r2=﹣3（舍去）．

在Rt△AOE中，

∴sinA=

【解析】（1）利用三角形中位線定理證得OE∥BC．所以由平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)推知∠ODE=∠F，則易證得結(jié)論；（2）設(shè)⊙O半徑為r．根據(jù)相似三角形△AOE∽△ABC的對應(yīng)邊成比例列出關(guān)于半徑r的方程，通過解方程即可求得r的值．然后通過解Rt△AOE來求sinA的值．
【考點精析】關(guān)于本題考查的切線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，需要了解切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．