Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6Cm，點P從A開始沿AB邊向B以每秒3cm的速度移動，點Q從C開始沿CD邊向D以每秒1cm的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發，當其中一點到達終點時，運動停止，設運動時間為秒.

(1)求證:當時,四邊形APQD是平行四邊形；

(2)PQ是否可能平分對角線BD?若能,求出當為何值時PQ平分BD；若不能,請說明理由；

(3)當PD=PQ時,求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當t=3秒時，PQ平分對角線BD．（3）若△DPQ是以PQ為腰的等腰三角形，t的值為．

【解析】

（1）由題意可得當t=4秒時，兩點停止運動，在運動過程中AP=3t，CQ=t，即可得BP=12-3t，DQ=6-t，由t=，即可求得AP=DQ，又由AP∥DQ，即可判定四邊形APQD是平行四邊形；

（2）首先連接BD交PQ于點E，若PQ平分對角線BD，則DE=BE，易證得△DEQ≌△BEP，繼而可得四邊形DPBQ為平行四邊形，則可得6-t=12-3t，解此方程即可求得答案．

（3）分兩種情況：①當PQ=PD時，作DN⊥AB于N，QM⊥AB于M，CE⊥AB與E，如圖所示：則DN=QM，AN=BE=（AB-CD）=3，ME=CQ=t，得出PN=AP-AN=3t-3，PM=BP-BE-ME=9-4t，由PN=PM得出方程，解方程即可；

②當PQ=DQ=6-t時，由勾股定理得出方程，方程無解；即可得出答案．

（1）證明：∵＜，

∴當t=4秒時，兩點停止運動，在運動過程中AP=3t，CQ=t，

∴BP=12-3t，DQ=6-t，

當t=時，DQ=6-=，AP=3×=，

∴AP=DQ

又∵四邊形ABCD為等腰梯形，

∴AP∥DQ，

∴四邊形APQD為平行四邊形；

（2）解：PQ能平分對角線BD，當t=3秒時，PQ平分對角線BD．

理由如下：

連接BD交PQ于點E，如圖1所示：

若PQ平分對角線BD，則DE=BE，

∵CD∥AB，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

在△DEQ和△BEP中，

，

∴△DEQ≌△BEP（AAS），

∴DQ=BP，

即四邊形DPBQ為平行四邊形，

∴6-t=12-3t，

解得t=3，符合題意，

∴當t=3秒時，PQ平分對角線BD．

（3）解：分兩種情況：

①當PQ=PD時，作DN⊥AB于N，QM⊥AB于M，CE⊥AB與E，如圖2所示：

則DN=QM，AN=BE=（AB-CD）=3，ME=CQ=t，

∴PN=AP-AN=3t-3，PM=BP-BE-ME=9-4t，

∵PQ=PD，

∴PN=PM，

∴3t-3=9-4t，

解得：t=；

②當PQ=DQ=6-t時，由勾股定理得：PQ2=QM2+PM2=42+（9-4t）2，

∴42+（9-4t）2=（6-t）2，

整理得：15t2-60t+61=0，

解得△＜0，方程無解；

綜上所述：若△DPQ是以PQ為腰的等腰三角形，t的值為．