Question

（2010•牡丹江）在銳角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE為高，F為BC的中點，連接DE、DF、EF，則結論：①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等邊三角形；④BE+CD=BC；⑤當∠ABC=45°時，BE=DE中，一定正確的有（ ）

A．2個
B．3個
C．4個
D．5個

Answer 1

【答案】分析：根據直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質、等邊三角形的判定、銳角三角函數的定義可知．
解答：解：①∵BD、CE為高，∴∠BDC=∠CEB=90°，又∵F為BC的中點，∴DF=BC，EF=BC，∴DF=EF；
②∵∠A=∠A，∠ADB=∠AEC，∴△ADB∽△AEC，∴AD：AB=AE：AC；
③∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵DF=CF，EF=BF，∴∠BEF+∠CDF=120°，∴∠BFE+∠CFD=120°，∴∠DFE=60°，又∵DF=EF，∴△DEF是等邊三角形；
④∵∠BAC=60°，BD、CE為高，
∴∠ABD=∠ACE=30°，
∴∠DBC+∠ECB=180°-∠A-∠ABD-∠ACE=60°，
∴∠CBD=60°-∠BCE，
∴BE+CD=BC•sin∠BCE+BC•sin∠CBD=BC•（sin∠BCE+sin∠CBD）=BC•[sin∠BCE+sin（60°-∠BCE）]，
不一定等于BC；
⑤∵∠ABC=45°，∴BE=BC=DE．
正確的共4個．
故選C．
點評：本題綜合性較強，有一定的難度．主要考查了直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質、等邊三角形的判定、銳角三角函數的定義．