Question

如圖，已知平行于y軸的動直線a的解析式為x=t，直線b的解析式為y=x，直線c的解析式為y=-

1

2

x+2，且動直線a分別交直線b、c于點D、E（E在D的上方），P是y軸上一個動點，且滿足△PDE是等腰直角三角形，則點P的坐標是

 

．

Answer 1

分析：由于x=t，分別代入y=x，y=-

1

2

x+2，可得E點坐標為（t，-

1

2

t+2），D點坐標為（t，t）．由于E在D的上方，
故DE=-

1

2

t+2-t=-

3

2

t+2，且t＜

4

3

．
∵△PDE為等腰直角三角形，∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．
由于x=t是動直線故應分三種情況討論：
①t＞0時，PE=DE時，PE，DE，PD，分別為斜邊的情況；-

3

2

t+2=t，求出P點坐標；
②若t＜0，PE=DE和PD=DE時；
③若t＜0，PE=PD時，即DE為斜邊．

解答：解：∵當x=t時，y=x=t；當x=t時，y=-

1

2

x+2
=-

1

2

t+2．
∴E點坐標為（t，-

1

2

t+2），D點坐標為（t，t）．
∵E在D的上方，
∴DE=-

1

2

t+2-t
=-

3

2

t+2，且t＜

4

3

．
∵△PDE為等腰直角三角形，∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．
t＞0時，PE=DE時，-

3

2

t+2=t，
∴t=

4

5

，-

1

2

t+2=

8

5

．∴P點坐標為（0，

8

5

）．
①若t＞0，PD=DE時，-

3

2

t+2=t，
∴t=

4

5

．∴P點坐標為（0，

4

5

）．
②若t＞0，PE=PD時，即DE為斜邊，∴-

3

2

t+2=2t
∴t=

4

7

，DE的中點坐標為（t，

1

4

t+1），∴P點坐標為（0，

8

7

）．
若t＜0，PE=DE和PD=DE時，由已知得DE=-t，-

3

2

t+2=-t，t=4＞0
（不符合題意，舍去），
此時直線x=t不存在．
③若t＜0，PE=PD時，即DE為斜邊，由已知得DE=-2t，-

3

2

t+2=-2t，
∴t=-4，

1

4

t+1=0，∴P點坐標為（0，0）
綜上所述：當t=

4

5

時，△PDE為等腰直角三角形，此時P點坐標為或（0，

4

5

）；
當t=

4

7

時，△PDE為等腰直角三角形，此時P點坐標為（0，

8

7

）；
當t=-4時，△PDE為等腰直角三角形，此時P點坐標為（0，0）．

點評：本題把動直線與等腰直角三角形的性質結合起來，解答此類問題時要注意分類討論，不要漏解．