Question

（1）已知：5|（x+9y）（x，y為整數(shù)），求證：5|（8x十7y）．
（2）試證：每個大于6的自然數(shù)n都可表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和．

Answer 1

分析：（1）嘗試把8x+7y寫成x+9y的倍數(shù)與5的倍數(shù)的代數(shù)和的形式，
（2）逆用整式的加減，將每一類自然數(shù)表示為兩個式子的和，并證明它們互質(zhì)，注意分類討論．

解答：證明：（1）已知5|（x+9y）（x，y為整數(shù)），
8x+7y=8x+72y-65y=8（x+9y）-65y，
因為已知5|（x+9y）（x，y為整數(shù)），65y也能被5整出．
故：5|（8x十7y）．

（2）①若n為奇數(shù)，設(shè)n=2k+1，k為大于2的整數(shù)，則寫 n=k+（k+1），由于顯然（k，k+1）=1，故此表示合乎要求．
②若n為偶數(shù)，則可設(shè)n=4k或4k+2，k為大于1的自然數(shù)．
當(dāng)n=4k時，可寫n=（2k-1）+（2k+1），并且易知2k-1與2k+1互質(zhì)，
因為，若它們有公因子d≥2，則d|2，但2k-1與2k+1均為奇數(shù)，此不可能．
當(dāng)n=4k+2時，可寫n=（2k-1）+（2k+3），并且易知2k-1與2k+3互質(zhì)，
因為，若它們有公因子d≥2，設(shè)2k-1=pd，2k+3=qd，p、q均為自然數(shù)，則得（q-p）d=4，可見d|4，矛盾．
故：每個大于6的自然數(shù)n都可表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和．

點評：此題主要考查了學(xué)生分析論證問題的能力，關(guān)鍵是（1）通過變式得證．（2）要運用分論證明的方法．