Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為－8.
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E.
①設△PDE的周長為l，點P的橫坐標為x，求l關于x的函數關系式，并求出l的最大值；
②連接PA，以PA為邊作圖示一側的正方形APFG．隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點F或G恰好落在y軸上時，直接寫出對應的點P的坐標．

Answer 1

（1）；
（2）①x=﹣3時，l_最大=15；
②點P有三個，分別是P₁（，2），P₂（，2），P₃（，）．

解析試題分析：（1）利用待定系數法求出b，c即可；
（2）①根據△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=y_P﹣y_D求出二函數最值即可；
②當點G落在y軸上時，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，
所以得出P點坐標，當點F落在y軸上時，，解得，可得P點坐標．
試題解析：（1）對于，當y=0，x=2．當x=﹣8時，y=﹣．
∴A點坐標為（2，0），B點坐標為（﹣8，﹣）．
由拋物線經過A、B兩點，
得
解得．
∴；
（2）①設直線與y軸交于點M，

當x=0時，y=．∴OM=．
∵點A的坐標為（2，0），∴OA=2．∴AM=．
∵OM：OA：AM=3：4：5．
由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM∽△PED．
∴DE：PE：PD=3：4：5．
∵點P是直線AB上方的拋物線上一動點，
∵PD⊥x軸，
∴PD兩點橫坐標相同，
∴PD=y_P﹣y_D=﹣（）=﹣x²﹣x+4，
∴．
∴x=﹣3時，l_最大=15；
②當點G落在y軸上時，如圖2，

由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，
即，解得，
所以P₁（，2），P₂（，2），
如圖3，過點P作PN⊥y軸于點N，過點P作PS⊥x軸于點S，

由△PNF≌△PSA，
PN=PS，可得P點橫縱坐標相等，
故得當點F落在y軸上時，
，解得，
可得P₃（，），P₄（，），（舍去）．
綜上所述：滿足題意的點P有三個，分別是P₁（，2），P₂（，2），P₃（，）．
考點：二次函數綜合題．