Question

選擇最佳方法解下列關于x的方程：
（1）（x+1）²=（1-2x）²
（2）x²-6x+8=0
（3）x2-2

2

x+2=0
（4）x（x+4）=21
（5）-2x²+2x+1=0
（6）x²-（2a-b）x+a²-ab=0．

Answer 1

分析：（1）利用兩數的平方相等兩數相等或化為相反數，將方程左右兩邊開方轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（2）利用十字相乘法將方程左邊的多項式分解因式，然后利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（3）方程左邊利用完全平方公式分解因式，然后利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（4）將方程整理為一般形式，利用十字相乘法分解因式，然后利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；
（5）找出方程的二次項系數a，一次項系數b及常數項c，計算出根的判別式的值大于0，代入求根公式即可求出原方程的解；
（6）將方程左邊的多項式利用十字相乘法分解因式，然后利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．

解答：解：（1）（x+1）²=（1-2x）²，
開方得：x+1=1-2x或x+1=-（1-2x），
解得：x₁=2，x₂=0；
（2）x²-6x+8=0，
因式分解得：（x-2）（x-4）=0，
可得x-2=0或x-4=0，
解得：x₁=2，x₂=4；
（3）x²-2

2

x+2=0，
變形得：x²-2

2

+（

2

）²=0，即（x-

2

）²=0，
解得：x₁=x₂=

2

；
（4）x（x+4）=21，
整理得：x²+4x-21=0，即（x-3）（x+7）=0，
可得x-3=0或x+7=0，
解得：x₁=-7，x₂=3；
（5）-2x²+2x+1=0，
這里a=-2，b=2，c=1，
∵△=4+8=12＞0，
∴x=

-2± 12

2×(-2)

=

1± 3

2

，
則x₁=

1+ 3

2

，x₂=

1- 3

2

；
（6）x²-（2a-b）x+a²-ab=0，
因式分解得：（x-a）（x-a+b）=0，
可得x-a=0或x-a+b=0，
解得：x₁=a，x₂=a-b．

點評：此題考查了解一元二次方程-分解因式法、直接開平方法以及公式法，利用因式分解法解方程時，首先將方程右邊化為0，左邊的多項式化為積的形式，然后利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解．