Question

如圖，開口向上的拋物線y=ax²+2ax-c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點A在x軸的正半軸，點B在x的負半軸，OB=OC．
（1）求證：ac-2a=1；
（2）如果點A的坐標為（1，0），求點B的坐標；
（3）在（2）的條件下，問此拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PAC的周長最小？若存在，求出點P的坐標；不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了OB=OC=-c，因此B點坐標為（-c，0），將其代入拋物線的解析式中，即可得出所要證的條件．
（2）根據拋物線的解析式可得出拋物線的對稱軸為x=-1，由于A、B同為拋物線與x軸的交點，因此這兩點關于拋物線對稱，由此可求出B點的坐標．
（3）本題的關鍵是確定P點的位置，由于A、B關于拋物線對稱軸對稱，因此連接BC，直線BC與拋物線對稱軸的交點即為P點（依據軸對稱圖形的性質和兩點間線段最短）．先求出直線BC的解析式，然后將拋物線對稱軸解析式代入直線BC中即可求得P點坐標．（也可通過相似三角形來求解）
解答：（1）證明：∵C（0，-c），OB=OC，
∴B（-c，0）
∵B（-c，0）在拋物線上，
∴ac²-2ac-c=0，
即：ac-2a=1．
（2）解：由題意可知拋物線的對稱軸為x=-1，A（1，0）
∴B（-3，0）．
（3）解：存在，連接BC，BC與對稱軸的交點即為P點．
設對稱軸于x軸的交點為F，則△BPF∽△BCO，
即：，；
∴OP=2；
∴P（-1，-2）．
點評：本題考查了拋物線的性質、三角形相似、函數圖象交點等知識．