Question

（2009•威海）如圖，在直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過A，B，C三點的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求當AD+CD最小時點D的坐標；
（3）以點A為圓心，以AD為半徑作⊙A．
①證明：當AD+CD最小時，直線BD與⊙A相切；
②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標：______．

Answer 1

【答案】分析：（1）由待定系數法可求得拋物線的解析式．
（2）連接BC，交直線l于點D，根據拋物線對稱軸的性質，點B與點A關于直線l對稱，∴AD=BD．
∴AD+CD=BD+CD，由“兩點之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點，
設出直線BC的解析式為y=kx+b，可用待定系數法求得BC直線的解析式，故可求得BC與直線l的交點D的坐標．
（3）由（2）可知，當AD+CD最短時，D在直線BC上，由于已知A，B，C，D四點坐標，根據線段之間的長度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC與圓相切．由于AB⊥l，故由垂徑定理知及切線長定理知，另一點D與現在的點D關于x軸對稱，所以另一點D的坐標為（1，-2）．
解答：解：
（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．（1分）
將（0，3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．
解，得a=-1．（2分）∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）．
即y=-x²+2x+3．（3分）

（2）連接BC，交直線l于點D．
∵點B與點A關于直線l對稱，
∴AD=BD．（4分）
∴AD+CD=BD+CD=BC．
由“兩點之間，線段最短”的原理可知：
此時AD+CD最小，點D的位置即為所求．（5分）
設直線BC的解析式為y=kx+b，
由直線BC過點（3，0），（0，3），
得
解這個方程組，得
∴直線BC的解析式為y=-x+3．（6分）
由（1）知：對稱軸l為，即x=1．
將x=1代入y=-x+3，得y=-1+3=2．
∴點D的坐標為（1，2）．（7分）
說明：用相似三角形或三角函數求點D的坐標也可，答案正確給（2分）．

（3）①連接AD．設直線l與x軸的交點記為點E．
由（2）知：當AD+CD最小時，點D的坐標為（1，2）．
∴DE=AE=BE=2．
∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）
∴∠ADB=90度．
∴AD⊥BD．
∴BD與⊙A相切．（9分）
②∵另一點D與D（1，2）關于x軸對稱，
∴D（1，-2）．（11分）
點評：本題考查拋物線與數軸交點問題，以及頂點坐標公式，頂點與對稱軸之間的關系，圓與直線相切時的性質，兩點之間線段最短，垂徑定理和切線長定理等定理．