Question

【題目】我們規(guī)定，以二次函數(shù)的二次項系數(shù)的2倍為一次項系數(shù)，一次項系數(shù)為常數(shù)項構造的一次函數(shù)叫做二次函數(shù)的“子函數(shù)”，反過來，二次函數(shù)叫做一次函數(shù)的“母函數(shù)”．

（1）若一次函數(shù)是二次函數(shù)的“子函數(shù)”，且二次函數(shù)經(jīng)過點，求此二次函數(shù)的解析式．

（2）如圖，已知二次函數(shù)的“子函數(shù)”圖象直線與軸、軸交于、兩點，點是直線上方的拋物線上任意一點，求的面積的最大值．

（3）已知二次函數(shù)與它的“子函數(shù)”的函數(shù)圖象有兩個交點，，且，求的值；

Answer 1

【答案】（1）；（2）13；（3），-6，6

【解析】

（1）由題意得：，，故拋物線的表達式為：，將點C的坐標代入即可求解；
（2）連接DP，過點P作y軸的平行線交CD于點H，設點P（，），則點H（，），由S△PCD=S△PHC-S△PHD=構造關于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質即可求解；

（3）由二次函數(shù)的“子函數(shù)”為，知，，聯(lián)立與得，利用根與系數(shù)的關系結合已知條件即可求解．

（1）由題意得：，，
故拋物線的表達式為：，將點C(3，0)的坐標代入得：，

解得：c=3，
故拋物線的表達式為：；

（2）如圖所示，連接DP，

設點P（，），

二次函數(shù)中，，，
∴“子函數(shù)”圖象直線的表達式為：，

令，則；令，則；

∴點C、D的坐標分別為（-2，0）、（0，-4），

過點P作y軸的平行線交CD于點H，則點H（，），

∴S△PCD=S△PHC-S△PHD=

，

∵，∴S△PCD有最大值，
當時，其最大值為13；

（3）由二次函數(shù)的“子函數(shù)”為，

知：，，

∴二次函數(shù)的解析式為，其“子函數(shù)”為，

聯(lián)立，

消去得，

由根與系數(shù)的關系得：，，

∵，

整理得：，

∴，

解得：．

故的值分別為：，，．