Question

已知對稱軸為y軸的拋物線y=ax²+c，與直線l₁交于A（-4，3）、B（2，0）兩點．經過點C（0，-2）的直線l₂與x軸平行，O為坐標原點．
（Ⅰ）求直線l₁和這條拋物線的解析式；
（Ⅱ）以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線l₂與⊙A的位置關系，并說明理由；
（Ⅲ）設直線l₁上的點D的橫坐標為-1，P（m，n）是（Ⅰ）中拋物線上的動點，當△PDO的周長最小時，求四邊形CODP的面積．

Answer 1

分析：（1）已知A（-4，3）、B（2，0）兩點的坐標，用待定系數法即可求出直線AB的解析式；再把A．B兩點的坐標代入y=ax²+c即可求出拋物線的解析式；
（2）根據A點坐標可求出半徑OA的長，然后判斷A到直線l₂的距離與半徑OA的大小關系即可；
（3）根據直線AB的解析式可求出D點的坐標，即可得到OD的長，由于OD的長為定值，若△POD的周長最小，那么PD+OP的長最小，可過P作y軸的平行線，交直線l₂于M；首先證PO=PM，此時PD+OP=PD+PM，而PD+PM≥DM，因此PD+PM最小時，應有PD+PM=DM，即D、P、M三點共線，由此可求得P點的坐標；此時四邊形CODP是梯形，根據C、O、D、P四點坐標即可求得上下底DP、OC的長，而梯形的高為D點橫坐標的絕對值由此可求出四邊形CODP的面積．

解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，把A（-4，3）、B（2，0）兩點的坐標分別代入得：

-4k+b=3 2k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b=1

，
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+1，
∵拋物線y=ax²+c，與直線l₁交于A（-4，3）、B（2，0）兩點，
∴

3=16a+c 0=4a+c

，
解得：

a= 1 4 c=-1

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

4

x²-1；
（2）易知：A（-4，3），則OA=

32 +42

=5，
而A到直線l的距離為：3-（-2）=5；
所以⊙A的半徑等于圓心A到直線l的距離，
即直線l₂與⊙A相切；
（3）過P作PM∥y軸，交直線l₂于M；
則P（m，n），M（m，-2）；
∴PO²=m²+n²，PM²=（n+2）²；
∴n=

1

4

m²-1，即m²=4n+4；
∴PO²=n²+4n+4=（n+2）²，
即PO²=PM²，PO=PM；
易知D（-1，

3

2

），則OD的長為定值；
若△PDO的周長最小，則PO+PD的值最小；
∵PO+PD=PD+PM≥DM，
∴PD+PO的最小值為DM，
即當D、P、M三點共線時PD+PM=PO+PD=DM；
此時點P的橫坐標為-1，代入拋物線的解析式可得y=

1

4

-1=-

3

4

，
即P（-1，-

3

4

）；
∴S_{四邊形CPDO}=

1

2

（CO+PD）×|x_D|=

1

2

×（2+

3

2

+

3

4

）×1=

17

8

．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、直線與圓的位置關系、圖形面積的求法等知識，還涉及到解析幾何中拋物線的相關知識，能力要求極高，難度很大．