Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=nAD，點E，F分別在邊AB，AD上且不與頂點A，B，D重合，∠AEF=∠BCE，圈O過A，E，F三點．
（1）求證：圈O與CE相切與點E；
（2）如圖1，若AF=2FD且∠AEF=30°，求n的值；
（3）如圖2．若EF=EC且圈O與邊CD相切，求n的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，

∴圓心O是EF的中點；

∵∠AEF=∠BCE，∠BEC+∠BCE=90°，

∴∠BEC+∠AEF=90°，

即∠FEC=90°，

∴圓O與CE相切與點E

（2）解：如圖1，設FD=x，AF=2x；

則BC=3x；

∵∠AEF=30°，

∴AE=AFtan 30°=2 x，

∵∠BCE=30°，

∴BE=BCtan30°= x，

∴AB=3 x，

∴n= =

（3）解：設切點為G，連OG并延長交AE于點H；

在△AEF與△BCE中，

∴△AEF≌△BCE（AAS）

設BC=AE=y，

則BE=AF=（n﹣1）y，

HE= AE= y

∴由切線的性質可知：OG=OE=OF，

∴由中位線的性質可知：OH= AF=

∴OE=OG=y﹣ y= y，

∴Rt△OHE中，由勾股定理可知：

（ ）2=（ ）2+（ ）2，

解得：n=

【解析】（1）只需要證明∠FEC=90°即可，由于∠AEF=∠BCE，∠BEC+∠BCE=90°，所以∠BEC+∠AEF=90°，（2）設FD=x，AF=2x，所以BC=3x，根據特殊角的銳角三角函數值即可求出BE、AB的長度，從而可求出n的值．（3）設切點為G，連OG并延長交AE于點H；，先證明△AEF≌△BCE，然后根據AB=nAD，可設BC=y，然后用y表示OH、OE，HE的長度，根據勾股定理即可求出n的值．