Question

已知關于y的方程y²-2ay-2a-4=0．
（1）證明：不論a取何值，這個方程總有兩個不相等的 實數根；
（2）a為何值時，方程的兩根之差的平方等于16？

Answer 1

分析：（1）根據方程，求出△的值，判斷出△是否＞0即可；
（2）設兩根為：y₁，y₂，根據題意得：（y₁-y₂）²=16，然后進行變形可得（y₁+y₂）²-4y₁y₂=16，再利用根與系數的關系得到關于a的一元二次方程，解方程可得答案．

解答：解：（1）證明：△=（-2a）²-4×1×（-2a-4），
=4a²+8a+16，
=4（a²+2a+1）+12，
=4（a+1）²+12，
∵（a+1）²≥0，
∴△＞0，
∴方程總有兩個不相等的 實數根；

（2）設兩根為：y₁，y₂，
（y₁-y₂）²=16，
y₁²-2y₁y₂+y₂²=16，
（y₁+y₂）²-4y₁y₂=16，
（2a）²-4（-2a-4）=16，
4a²+8a=0，
a₁=0，a₂=-2，
∴a為0或-2時，方程的兩根之差的平方等于16．

點評：此題主要考查了根與系數的關系，根的判別式，根據把握準①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根．