Question

閱讀下列短文：
如圖，G是四邊形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過(guò)G作GE∥CD交AD于E，GF∥CB交AB于F，若EG=FG，則有BC=CD成立，同時(shí)可知四邊形ABCD與四邊形AFGE相似．

解答問(wèn)題：
（1）有一塊三角形空地（如圖△ABC），BC鄰近公路，現(xiàn)需在此空地上修建一個(gè)正方形廣場(chǎng)，其余地為草坪，要使廣場(chǎng)一邊靠公路，且其面積最大，如何設(shè)計(jì)，請(qǐng)你在下面圖中畫出此廣場(chǎng)正方形．（尺規(guī)作圖，不寫作法）
（2）銳角△ABC是一塊三角形余料，邊AB=130mm，BC=150mm，AC=140mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在三角形的一邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在另外兩條邊上，且剪去正方形零件后剩下的邊角料較少，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？你能得出什么結(jié)論，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）先在AB上任取一點(diǎn)O，過(guò)O作BC的垂線，然后作出以O(shè)M為一邊的正方形OMNP，連接BP并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線交BC于點(diǎn)H，再以EH為邊作正方形EFGH即可；
（2）過(guò)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，在Rt△ABD與Rt△ACD中，根據(jù)AD是公共邊利用勾股定理列式求出BD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，然后利用△ABC的面積求出AB、AC邊上的高，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比列出比例式求解得到正方形的邊長(zhǎng)與三角形的邊與相應(yīng)邊上的高的關(guān)系，然后判斷出當(dāng)邊與邊上的高的和最小時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)最大，剪去正方形零件后剩下的邊角料較少，然后計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）如圖；


（2）如圖，過(guò)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則CD=BC-BD=150-BD，

在Rt△ABD中，AD²=AB²-BD²=130²-BD²，
在Rt△ACD中，AD²=AC²-CD²=140²-（150-BD）²，
所以，130²-BD²=140²-（150-BD）²，
解得BD=

1302+1502-1402

2×150

=

19800

300

=66，
所以，AD²=130²-66²=12544，
AD=112mm，
設(shè)AB、AC邊上的高分別為h_AB，h_AC，
則S_△ABC=

1

2

×130×h_AB=

1

2

×140×h_AC=

1

2

×150×112，
解得h_AB=129

3

13

mm，h_AC=120mm，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

EF

BC

=

AD-a

AD

，
即

a

BC

=

AD-a

AD

，
整理得，a=

BC•AD

BC+AD

，
∵BC•AD是△ABC面積的2倍，
∴BC+AD，也就是三角形一條邊與這條邊上的高的和越小，則加工成的正方形的邊長(zhǎng)越大，面積也就是越大，剪去正方形零件后剩下的邊角料較少，
130+129

3

13

=259

3

13

mm，
140+120=260mm，
150+112=262mm，
∵259

3

13

＜260＜262，
∴有兩個(gè)頂點(diǎn)在AB=130mm邊上加工成的正方形的面積最大，
這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為

130×129 3 13

130+129 3 13

=

21840

3370

=64

272

337

mm．
結(jié)論：正方形的一條邊在三角形的哪一條邊上，則正方形的邊長(zhǎng)等于這條邊與這條邊上的高的積除以它們的和，并且最短邊上的正方形的邊長(zhǎng)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比列式計(jì)算是解題的關(guān)鍵，（1）中，讀懂題目信息并利用信息是正確作圖的關(guān)鍵，對(duì)同學(xué)們信息獲取能力的要求比較高．