Question

（2012•門頭溝區一模）在平面直角坐標系中，二次函數y=x²+2x-3的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點E．點C是點A關于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行．一次函數y=-x+m的圖象過點C，交y軸于D點．
（1）求點C、點F的坐標；
（2）點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H，與拋物線交于點G，求線段HG長度的最大值；
（3）在直線l上取點M，在拋物線上取點N，使以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解方程即可得到點A、B的坐標，然后根據點的對稱性求出點C的坐標，再根據中點定義求出點F的坐標；
（2）把點C的坐標代入一次函數求出m的值，從而得到直線CD的解析式，然后設出點K的坐標，并表示出點H、G的坐標，利用兩點間的距離表示出CD，整理后根據二次函數的最值問題求解；
（3）根據直線CD的解析式與拋物線的解析式分別設出點M、N的坐標，然后分①AC是平行四邊形的邊，根據平行四邊形的對邊平行且相等分點N在點M的左側與右側兩種情況分別求出點N是橫坐標，然后代入拋物線解析式求出縱坐標，即可得到點N的坐標；②AC是對角線時，根據平行四邊形的對角線互相平分可得M、N關于點B對稱，根據對稱性求出點N的橫坐標，然后代入拋物線解析式求出點N的縱坐標，即可得解．

解答：解：（1）令y=0，則x²+2x-3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∵點A在點B的左側，
∴A（-3，0），B（1，0），
∵點C是點A關于點B的對稱點，
∴C（5，0），
∵F是線段BC的中點，
∴F（3，0）；

（2）∵一次函數y=-x+m的圖象過點C（5，0）
∴-5+m=0，
解得，m=5，
∴CD的解析式是y=-x+5，
設K點的坐標是（t，0），則H點的坐標是（t，-t+5），G點的坐標是（t，t²+2t-3），
∵K是線段AB上一動點，∴-3≤t≤1，
HG=（-t+5）-（t²+2t-3），
=-t²-3t+8，
=-（t+

3

2

）²+

41

4

，
∵-3≤-

3

2

≤1，
∴當t=-

3

2

時，線段HG的長度有最大值是

41

4

；

（3）∵A（-3，0），C（5，0），
∴AC=5-（-3）=5+3=8，
∵直線l過點F且與y軸平行，
∴直線l的解析式是x=3，
∵點M在l上，點N在拋物線上，
∴設點M的坐標是（3，m），點N的坐標是（n，n²+2n-3）．
①若線段AC是以A、C、M、N為頂點的平行四邊形的邊，則須MN∥AC，MN=AC=8，
（i）當點N在點M的左側時，MN=3-n，
3-n=8，解得n=-5，
n²+2n-3=（-5）²+2×（-5）-3=25-10-3=12，
所以，N點的坐標是（-5，12）；
（ii）當點N在點M的右側時，NM=n-3，
n-3=8，解得n=11，
n²+2n-3=11²+2×11-3=121+22-3=140，
所以，N點坐標是（11，140）；
②若線段AC是以A、C、M、N為頂點的平行四邊形的對角線，由題意可知，點M與點N關于點B中心對稱，
∵點M的橫坐標為3，點B（1，0），
∴點N的橫坐標為-1，
n²+2n-3=（-1）²+2×（-1）-3=1-2-3=-4，
所以，N點坐標是（-1，-4），
綜上所述，符合條件的N點坐標有（-5，12），（11，140），（-1，-4）．

點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要涉及求拋物線與x軸的交點，點的對稱，待定系數法求一次函數解析式，二次函數的最值問題，平行四邊形的性質，（3）題的求解比較復雜，既要考查了AC是平行四邊形的邊，點N在點M的左右兩邊的情況，還要考慮是平行四邊形的對角線，分情況討論求解，計算時要認真仔細．