Question

如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，點A(2,m)，B(-3,n)為兩動點，其中m﹥1，連結(jié)，，作軸于點，軸于點．

【小題1】求證：mn=6
【小題2】當(dāng)時，拋物線經(jīng)過兩點且以軸為對稱軸，求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式
【小題3】在（2）的條件下，設(shè)直線交軸于點，過點作直線交拋物線于兩點，問是否存在直線，使S_⊿POF:S_⊿QOF=1:2？若存在，求出直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】點坐標(biāo)分別為(2,m)，(-3,n)，∴BC=n,OC=3,OD=2,AD=m，
又，易證，∴,∴,∴mn=6．
【小題2】由（1）得，，又∴
即∴，又,∴,又∵mn="6," ∴∴m=6(),n=1
坐標(biāo)為坐標(biāo)為，易得拋物線解析式為．
【小題3】直線為，且與y軸交于點，
假設(shè)存在直線交拋物線于兩點，且使S_⊿POF:S_⊿QOF=1:2，如圖所示，
則有PF:FQ=1:2，作軸于M點，軸于點，
在拋物線上，設(shè)坐標(biāo)為，
則FM=，易證△PMF∽QNF，∴,
∴QN=2PM=-2t,NF=2MF=，∴ 

點坐標(biāo)為,Q點在拋物線上，
，解得，
坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，
易得直線為．
根據(jù)拋物線的對稱性可得直線的另解為．解析:
（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可得OC、OD、BC、AD的長，由于OA⊥OB，可證得△BOC∽△OAD，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可證得所求的結(jié)論．
（2）欲求拋物線的解析式，需先求出A、B的坐標(biāo)；根據(jù)（1）的相似三角形，可得3OA=mOB，用OB表示出OA，代入△OAB的面積表達式中，可得到OB²的值，在Rt△BOC中，利用勾股定理可求得另外一個OB²的表達式，聯(lián)立兩式可得關(guān)于m、n的等式，結(jié)合（1）的結(jié)論即可求出m、n的值，從而確定A、B的坐標(biāo)和拋物線的解析式．
（3）求直線l的解析式，需先求出P、Q的坐標(biāo)，已知S_△POF：S_△QOF=1：2，由于兩三角形同底不等高，所以面積比等于高的比，即P、Q兩點橫坐標(biāo)絕對值的比，可設(shè)出點P的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩者的比例關(guān)系表示出點Q的坐標(biāo)，由于點Q在拋物線的圖象上，可將其代入拋物線的解析式中，即可求得點P、Q的坐標(biāo)，進而可利用待定系數(shù)法求得直線l的解析式．