Question

如圖，AB為⊙O直徑，D為的中點，DE⊥AC于E，
（1）求證：OD⊥DE；
（2）已知CE=1，DE=3，求AD長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由D為的中點，根據圓周角定理得到∠CAD=∠DAB，而∠DAB=∠ADO，則∠CAD=∠ADO，于是有AE∥OD，又DE⊥AC，即可得到結論；
（2）連CD，BD，利用直徑所對的圓周角為直角以及圓內接四邊形的性質易得到∠ECD=∠ADE=∠B，根據三角形相似的判定有Rt△ECD∽Rt△EDA，則DE：AE=CE：DE，即3：AE=1：3，求出AE，然后利用勾股定理計算出AD．
解答：（1）證明：∵D為的中點，
∴弧CD=弧BD，
∴∠CAD=∠DAB，
而∠DAB=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AE∥OD，
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE；

（2）解：連CD，BD，如圖，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
而∠ADE+∠EAD=90°，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠ECD=∠B，
∴∠ECD=∠ADE，
∴Rt△ECD∽Rt△EDA，
∴DE：AE=CE：DE，即3：AE=1：3，
∴AE=3，
∴AD===3．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓和等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理以及三角形相似的判定與性質．