Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=3，BC=4，點E在AC上，E與A、C均不重合.

（1）若點F在AB上，且EF平分Rt△ABC的周長，設(shè)AE=，△AEF的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若點F在折線ABC上移動，是否存在直線EF將Rt△ABC的周長與面積同時平分？若存在，求出AE的長；若不存在，請說出理由。

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，AB=

∴L_△ABC=AB+AC+BC=5+3+4=12

    ∵EF平分Rt△ABC的周長，∴AE+AF= 6

    ∴AF=6－AE=6－

    在Rt△ABC中，

  作FG⊥AC，則FG =

∴S_△AEF=

    即△AEF的面積與的函數(shù)關(guān)系式為

（2）①若F在AB上，假設(shè)EF將Rt△ABC的周長與面積同時平分，

則有：

解得：，

∵＞3(應(yīng)舍去)，∴

②若F在BC上，∵，∴CF=6－（3－）=3+

同理可得：

解得：，（舍去），∵CF=3+=，

∴不合題意

∴存在直線EF將Rt△ABC的周長與面積同時平分，