Question

已知如圖：△ABC內接于⊙O，P為BC邊延長線上的一點，PA為⊙O的切線，切點為A，若PA=6，PC=4，求

sinB

sinACB

的值．

Answer 1

分析：由于∠B、∠ABC都不在直角三角形中，因此需要通過作輔助線來達到這個目的．過A作⊙O的直徑AD，連接BD、CD，那么∠ADB=∠ACB、∠ADC=∠B，在Rt△ABD和Rt△ACD中，可得到sinB=AC：AD，sinACB=AB：AD；因此只需求得AB：AC的值即可，分析圖形，可通過證△PAB∽△PCA來求得這個比值．

解答：解：∵PA是⊙O的切線，
∴PA²=PC•PB，
∵PA=6，PC=4，
∴PB=9；
由弦切角定理知：∠PAC=∠ABC，
又∵∠APC=∠BPA，
∴△PAC∽△PBA，
∴

AB

AC

=

PB

PA

=

3

2

；
過A作⊙O的直徑AD，連接BD、CD；
則有：∠ADB=∠ACB，∠ABC=∠ADC；
在Rt△ABD中，sinADB=sinACB=AB：AD，
同理得：sinADC=sinABC=AC：AD；
∴

sinB

sinACB

=

AC

AB

=

2

3

．

點評：此題主要考查了圓周角定理、切線的性質、弦切角和切割線定理以及相似三角形的判定和性質；能夠通過作輔助線將所求的角轉移到相應的直角三角形中，是解答此題的關鍵．