Question

已知方程x²+a₁x+a₂a₃=0與方程x²+a₂x+a_la₃=0有且只有一個公共根．
求證：這兩個方程的另兩個根（除公共根外）是方程x²+a₃x+a₁a₂=0的根．

Answer 1

證明：設(shè)方程x²+a₁x+a₂a₃=0的兩根為α、β，
方程x²+a₂x+a_la₃=0的兩根為α、γ，其中α為兩方程的公共根，
則α²+a₁α+a₂a₃=0…①，α²+a₂α+a_la₃=0…②，
①-②得（a₁-a₂）α+a₃（a₂-a₁）=0，
因為兩個方程只有一個公共根，a₁≠a₂，解得α=a₁，
有一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：a₃+β=-a₁，a₃β=a₂a₃，a3γ=a₁a₃，
所以β=a₁，γ=a₁，a₁+a₂+a₃=0，
∵β²+a₃β+a₁a₂=a₂²+a₃•a₂+a₁a₂=a₂（a₁+a₂+a₃）=0，
γ²+a₃γ+a₁a₂=a₁²+a₃•a₁+a₁a₂=a₁（a₁+a₂+a₃）=0，
所以β、γ是方程x²+a₃x+a₁a₂=0的兩根．
分析：設(shè)方程x²+a₁x+a₂a₃=0的兩根為α、β，方程x²+a₂x+a_la₃=0的兩根為α、γ，其中α為兩方程的公共根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到a₁+β=-a₁，a₁β=a₂a₃，a₁γ=a₁a₃，然后解得β=a₁，γ=a₁，a₁+a₂+a₃=0，若β、γ是方程x²+a₃x+a₁a₂=0的根，則兩根代入，證明兩根代入后方程為0．
點評：本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的解的知識點，解答本題的關(guān)鍵是求出β=a₁，γ=a₁，a₁+a₂+a₃=0這些關(guān)系，本題有點難度．