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已知方程x2+a1x+a2a3=0與方程x2+a2x+ala3=0有且只有一個公共根.
求證:這兩個方程的另兩個根(除公共根外)是方程x2+a3x+a1a2=0的根.

證明:設(shè)方程x2+a1x+a2a3=0的兩根為α、β,
方程x2+a2x+ala3=0的兩根為α、γ,其中α為兩方程的公共根,
則α2+a1α+a2a3=0…①,α2+a2α+ala3=0…②,
①-②得(a1-a2)α+a3(a2-a1)=0,
因為兩個方程只有一個公共根,a1≠a2,解得α=a1
有一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得:a3+β=-a1,a3β=a2a3,a3γ=a1a3
所以β=a1,γ=a1,a1+a2+a3=0,
∵β2+a3β+a1a2=a22+a3•a2+a1a2=a2(a1+a2+a3)=0,
γ2+a3γ+a1a2=a12+a3•a1+a1a2=a1(a1+a2+a3)=0,
所以β、γ是方程x2+a3x+a1a2=0的兩根.
分析:設(shè)方程x2+a1x+a2a3=0的兩根為α、β,方程x2+a2x+ala3=0的兩根為α、γ,其中α為兩方程的公共根,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到a1+β=-a1,a1β=a2a3,a1γ=a1a3,然后解得β=a1,γ=a1,a1+a2+a3=0,若β、γ是方程x2+a3x+a1a2=0的根,則兩根代入,證明兩根代入后方程為0.
點評:本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的解的知識點,解答本題的關(guān)鍵是求出β=a1,γ=a1,a1+a2+a3=0這些關(guān)系,本題有點難度.
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