Question

在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，取一塊含45°角的直角三角尺，將直角頂點放在斜邊BC邊的中點O處（如圖1），繞O點順時針方向旋轉，使90°角的兩邊與Rt△ABC的兩邊AB，AC分別相交于點E，F（如圖2）．設BE=x，CF=y．
（1）探究：在圖2中，線段AE與CF之間有怎樣的大小關系？試證明你的結論；
（2）若將直角三角尺45°角的頂點放在斜邊BC邊的中點O處（如圖3），繞O點順時針方向旋轉，其他條件不變．
①試寫出y與x的函數解析式，以及x的取值范圍；
②將三角尺繞O點旋轉（如圖4）的過程中，△OEF是否能成為等腰三角形？若能，直接寫出△OEF為等腰三角形時x的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題可通過構建三角形，通過證全等來得出AE與CF相等的關系，連接OA，那么只要證明三角形AEO和OFC全等即可，根據ASA可得出三角形AEO和OFC全等；
（2）①本題可通過證△BEO∽△COF相似，得出關于x，y的比例關系，然后得出x，y的關系式；
②可根據①中得出的式子求x的值，注意要分三種情況進行討論．

解答：解：（1）線段AE與CF之間有相等關系．
證明：連接AO．如圖2，
∵AB=AC，點O為BC的中點，∠BAC=90°，
∴∠AOC=90°，∠EAO=∠C=45°，AO=OC．
∵∠EOF=90°，∠EOA+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，
∴∠EOA=∠FOC．
∴△EOA≌△FOC，
∴AE=CF．

（2）①連接AO．
如圖4，∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠B=45°，
∴∠BEO+∠EOB=135°，
∵∠EOF=45°，
∴∠FOC+∠EOB=135°，
∴∠FOC=∠BEO，
∴△BEO∽△COF，
∴

BE

OC

=

OB

CF

．
在Rt△ABC中，BC=

AB2+AC2

=

4+4

=2

2

，點O為BC的中點，
∴BO=OC=

2

．
∵BE=x，CF=y，
∴

x

2

=

2

y

，即xy=2，
∴y=

2

x

．
取值范圍是：1≤x≤2．
②△OEF能構成等腰三角形．
當F與A重合時，x=1，此時OE=EA（或OE=EF）；
當E與A重合時，此時x=2，OA=OF（或EF=OF）；
當E、F分別在A點的兩邊時，x=

2

，OE=OF，△OEF能構成等腰三角形．

點評：本題主要考查旋轉的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的性質等知識點．
要注意的是旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．