Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，一拋物線的頂點坐標是（0，1），且過點（-2，2），平行四邊形OABC的頂點A、B在此拋物線上，AB與y軸相交于點M．已知點C的坐標是（-4，0），點Q（x，y）是拋物線上任意一點．
（1）求此拋物線的解析式及點M的坐標；
（2）在x軸上有一點P（t，0），若PQ∥CM，試用x的代數式表示t；
（3）在拋物線上是否存在點Q，使得△BAQ的面積是△BMC的面積的2倍？若存在，求此時點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的頂點坐標是（0，1），且過點（-2，2），故設其解析式為y=ax²+1，則利用待定系數法即可求得此拋物線的解析式，又由四邊形OABC是平行四邊形，則可求得點A與M的坐標；
（2）作QH⊥x軸，交x軸于點H，即可證得△PQH∽△CMO，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得x與t的關系式；
（3）設△ABQ的邊AB上的高為h，可得S_△BCM=

1

2

BM•OM=2，則又由S_△ABQ=2S_△BCM=

1

2

AB×h，即可求得點Q的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點坐標是（0，1），且過點（-2，2），
故設其解析式為y=ax²+1，
則有：2=（-2）²×a+1，
得a=

1

4

，
∴此拋物線的解析式為：y=

1

4

x²+1，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AB=OC=4，AB∥OC，
又∵y軸是拋物線的對稱軸，
∴點A與B是拋物線上關于y軸的對稱點，
則MA=MB=2，
即點A的橫坐標是2，
則其縱坐標y=

1

4

×2²+1=2，
即點A（2，2），
故點M（0，2）．

（2）作QH⊥x軸，交x軸于點H．
則∠QHP=∠MOC=90°，
∵PQ∥CM，
∴∠QPH=∠MCO，
∴△PQH∽△CMO，
∴

PH

CO

=

QH

MO

，
即

x-t

4

=

y

2

，
而y=

1

4

x²+1，
∴

x-t

4

=

1

2

（

1

4

x²+1），
∴t=-

1

2

x²+x-2；

（3）設△ABQ的邊AB上的高為h，
∵S_△BCM=

1

2

BM•OM=2，
∴S_△ABQ=2S_△BCM=

1

2

AB×h=4，
∴h=2，
∴點Q的縱坐標為4，代入y=

1

4

x²+1，
得x=±2

3

，
∴存在符合條件的點Q，其坐標為（2

3

，4），（-2

3

，4）．

點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質以及三角形面積問題．此題綜合性很強，解題的關鍵是注意數形結合與方程思想的應用．