Question

（2010•天津）在平面直角坐標系中，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A、B點A在點B的左側，與y軸的正半軸交于點C，頂點為E．
（1）若b=2，c=3，求此時拋物線頂點E的坐標；
（2）將（1）中的拋物線向下平移，若平移后，在四邊形ABEC中滿足S_△BCE=S_△ABC，求此時直線BC的解析式；
（3）將（1）中的拋物線作適當的平移，若平移后，在四邊形ABEC中滿足S_△BCE=2S_△AOC，且頂點E恰好落在直線y=-4x+3上，求此時拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了b、c的值，即可確定拋物線的解析式，通過配方或用公式法即可求出其頂點E的坐標；
（2）在拋物線向下平移的過程中，拋物線的形狀沒有發生變化，所以b值不變，變化的只是c的值；可用c表示出A、B、C的坐標，若S_△BCE=S_△ABC，那么兩個三角形中BC邊上的高就應該相等；可過E作EF∥BC，交x軸于F，根據平行線分線段成比例定理知AB=BF，由此可求出BF的長；易證得Rt△EDF∽Rt△COB，根據相似三角形所得到的成比例線段即可求出c的值，也就確定了拋物線的解析式，即可得到C、B的坐標，進而可用待定系數法求出直線BC的解析式；
（3）可設平移后拋物線的解析式為y=-（x-h）²+k，與（2）的方法類似，也是通過作平行線，求出BF、DF的長，進而根據相似三角形來求出h、k的關系式，進而可根據E點在直線y=-4x+3上求出h、k的值，進而可確定平移后的拋物線解析式．
解答：解：（1）當b=2，c=3時，拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，即y=-（x-1）²+4；
∴拋物線頂點E的坐標為（1，4）（2分）

（2）將（1）中的拋物線向下平移，則頂點E在對稱軸x=1上，有b=2，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+c（c＞0）；
∴此時，拋物線與y軸的交點為C（0，c），頂點為E（1，1+c）；
∵方程-x²+2x+c=0的兩個根為，，
∴此時，拋物線與x軸的交點為A（1-，0），B（1+，0）；
如圖，過點E作EF∥CB與x軸交于點F，連接CF，則S_△BCE=S_△BCF
∵S_△BCE=S_△ABC，
∴S_△BCF=S_△ABC
∴
設對稱軸x=1與x軸交于點D，
則
由EF∥CB，得∠EFD=∠CBO
∴Rt△EDF∽Rt△COB，有
∴結合題意，解得
∴點，
設直線BC的解析式為y=mx+n，則
，解得；
∴直線BC的解析式為；（6分）

（3）根據題意，設拋物線的頂點為E（h，k），h＞0，k＞0；
則拋物線的解析式為y=-（x-h）²+k，
此時，拋物線與y軸的交點為C，（0，-h²+k），
與x軸的交點為，，、
過點E作EF∥CB與x軸交于點F，連接CF，
則S_△BCE=S_△BCF；
由S_△BCE=2S_△AOC，
∴S_△BCF=2S_△AOC，得；
設該拋物線的對稱軸與x軸交于點D；
則；
于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有
∴，即2h³+（2k-3h²）-3hk=0，
（2h-）（h-2）=0，
∵＞h＞0，
解得①，h=2（舍去），
∵點E（h，k）在直線y=-4x+3上，有k=-4h+3②
∴由①②，結合題意，解得
有k=1，
∴拋物線的解析式為．（10分）
點評：本題著重考查了二次函數與坐標軸交點及頂點坐標的求法、二次函數圖象的平移、圖象面積的求法、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質等知識的綜合應用能力，能力要求很高，難度較大．