Question

【題目】閱讀下面材料，然后解答問題：
在平面直角坐標系中，以任意兩點P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）為端點的線段的中點坐標為（ ， ）．如圖，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y= （x＜0）和y= （x＞0）的圖象關于y軸對稱，直線y= + 與兩個圖象分別交于A（a，1），B（1，b）兩點，點C為線段AB的中點，連接OC、OB．

（1）求a、b、k的值及點C的坐標；
（2）若在坐標平面上有一點D，使得以O、C、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出點D的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意得 ，

解得 ，

∴A（﹣3，1），B（1，3），

∵點B在雙曲線y= （x＞0）上，

∴k=1×3=3，

∵點C為線段AB的中點，

∴點C坐標為（ ， ），即為（﹣1，2）

（2）

解：將線段OC平移，使點O（0，0）移到點B（1，3），則點C（﹣1，2）移到點D（0，5），此時四邊形OCDB是平行四邊形；

將線段OC平移，使點C（﹣1，2）移到點B（1，3），則點O（0，0）移到點D（2，1），此時四邊形OCBD是平行四邊形；

線段BO平移，使點B（1，3）移到點C（﹣1，2），則點O（0，0）移到點D（﹣2，﹣1），此時四邊形BODC是平行四邊形．

綜上所述，符合條件的點D坐標為（0，5）或（2，1）或（﹣2，﹣1）．

【解析】（1）首先把A（a，1），B（1，b）代入y= 和y= + 可以得到方程組，解方程組即可算出a、b的值，繼而得到A、B兩點的坐標，再把B點坐標代入雙曲線y= （x＞0）上，即可算出k值，再根據中點坐標公式算出C點坐標；（2）此題分三個情況：①四邊形OCDB是平行四邊形，②四邊形OCBD是平行四邊形，③四邊形BODC是平行四邊形．根據點的平移規律可得到D點坐標．