Question

如圖，已知直線y=

4

3

x+4與x軸、y軸分別相交于點A、B，點C從O點出發沿射線OA以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時點D從A點出發沿AB以每秒1個單位長度的速度向B點勻速運動，當點D到達B點時C、D都停止運動．點E是CD的中點，直線EF⊥CD交y軸于點F，點E′與E點關于y軸對稱．點C、D的運動時間為t（秒）．
（1）當t=1時，AC=

2

，點D的坐標為

（-

12

5

，

4

5

）

；
（2）設四邊形BDCO的面積為S，當0＜t＜3時，求S與t的函數關系式；
（3）當直線EF與△AOB的一邊垂直時，求t的值；
（4）當△EFE′為等腰直角三角形時，直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）過D作DH⊥AC于H，求出A、B的坐標，求出AB，求出AH，DH，即可求出答案．
（2）求出AH、DH，根據三角形面積公式分別求出△ABO和△ADC面積，即可得出答案．
（3）分為兩種情況：①EF⊥OB，

AC

AD

=cos∠BAO，代入求出即可；②EF⊥AB，C點和A點重合，求出即可．
（4）①當0＜t＜

15

8

，且且重疊部分為等腰梯形PEQM時，過D作DH⊥AC于H，則△DHC是等腰直角三角形，根據DH=HC，代入得出

4

5

t=3-t-

3

5

t即可；②當

15

8

＜t＜5，且重疊部分為等腰梯形EHNK時，連接DHDH，求出DH=

4

5

t，CH=t-（3-

3

5

t），得出方程，求出即可．

解答：解：（1）如圖1，過D作DH⊥AC于H，
∵直線y=

4

3

x+4與x軸、y軸分別相交于點A，A、B，
∴A（（-3，0），B（0，4），
∴AO=3，BO=4，
∴AB=

AO2+BO2

=

32+42

=5，
當0≤t≤3時，如圖1，
∵CO=t，AD=t，
∴AC=3-t，DH=AD•sin∠BAO=

4

5

t，AH=ADcos∠BAO=

3

5

t，
當t=1時，AC=3-1=2，
點D的坐標為（-

12

5

，

4

5

）；

（2）∵AO=3，BO=4，AB=5
∴sin∠BAO=

BO

AB

=

4

5

，cos∠BAO=

AO

AB

=

3

5

過D作DH⊥AC于H，
當0≤tt≤3時，如圖1，
∵CO=t，AD=t，
∴AC=3-t，DH=AD•sin∠BAO=

4

5

t，
∴S=S_△ABO-S_△ADC=

1

2

×3×4-

1

2

•（3-t）•

4

5

t，
S=

2

5

t²-

6

5

t+6（0＜t＜3）．

（3）如圖2，當EF⊥BO時，

∵EF⊥CD，
∴CD∥BO，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ADC中，

AC

AD

=cos∠BAO，
∴

3-t

t

=

3

5

，
t=

15

8

，
當EF⊥AB時，如圖3，

∵EF⊥CD，
∴直線CD和直線AB重合，
∴C點和A點重合，
∴t=3．

（4）①如圖4，

當0＜t＜

15

8

，且且重疊部分為等腰梯形PEQM時，
則∠PEQ=∠MQE，
∵菱形CDMN，
∴CD∥MN，
∴∠MQE=∠CEQ，
∵EF⊥CD，
即∠CEF=90°，
∴∠CEQ=45°，
∴∠ACD=∠CEQ=45°，
過D作DH⊥AC于H，則△DHC是等腰直角三角形，
∴DH=HC，
∴

4

5

t=3-t-

3

5

t，
∴t=

5

4

；
②如圖5，

當

15

8

＜t＜5，且重疊部分為等腰梯形EHNK時，
同理可得∠CHE=45°，
連接DHDH，
∵EF垂直平分CD，
∴CH=DH，∠DHE=∠CHE=45°，
∴∠DHC=90°，
∴DH=

4

5

t，
而CH=CO-HO=CO-（AO-AH）=t-（3-

3

5

t），
∴t-（3-

3

5

t）=

4

5

t，
∴t=

15

4

．

點評：本題考查了解一元一次方程，一次函數的圖象上點的坐標特征，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的性質，線段垂直平分線性質，菱形的性質的應用，題目比較好，但是難度偏大．