Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB邊上的中點，點D，E分別在AC，BC邊上運動，且保持AD=CE．連接DE，DF，EF．在此運動變化的過程中，下列結論：

①△DFE是等腰直角三角形；

②四邊形CDFE不可能為正方形，

③DE長度的最小值為4；

④四邊形CDFE的面積保持不變；

⑤△CDE面積的最大值為8．

其中正確的結論是（ ）

A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①③④ D. ③④⑤

Answer 1

【答案】B

【解析】試題分析：解此題的關鍵在于判斷△DEF是否為等腰直角三角形，作常規輔助線連接CF，由SAS定理可證△CFE和△ADF全等，從而可證∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可證①正確，②錯誤，再由割補法可知④是正確的；

判斷③，⑤比較麻煩，因為△DEF是等腰直角三角形DE=DF，當DF與BC垂直，即DF最小時，DE取最小值4，故③錯誤，△CDE最大的面積等于四邊形CDEF的面積減去△DEF的最小面積，由③可知⑤是正確的．故只有①④⑤正確．

解：連接CF；

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；

∵AD=CE，

∴△ADF≌△CEF（SAS）；

∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；

∵∠AFD+∠CFD=90°，

∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，

∴△EDF是等腰直角三角形（故①正確）．

當D、E分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形（故②錯誤）．

∵△ADF≌△CEF，

∴S△CEF=S△ADF∴S四邊形CEFD=S△AFC，（故④正確）．

由于△DEF是等腰直角三角形，因此當DE最小時，DF也最小；

即當DF⊥AC時，DE最小，此時DF=BC=4．

∴DE=DF=4（故③錯誤）．

當△CDE面積最大時，由④知，此時△DEF的面積最小．

此時S△CDE=S四邊形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8（故⑤正確）．

故選：B．