Question

【題目】已知：如圖，在中，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，以為直徑作.

（1）求證：是的切線(xiàn)；

（2）若，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接OD，由AE為直徑、DE⊥AD可得出點(diǎn)D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根據(jù)AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行”可得出AC∥DO，再結(jié)合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，進(jìn)而即可證出BC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)度，設(shè)OD=r，則BO=5﹣r，由OD∥AC可得出，代入數(shù)據(jù)即可求出r值，再根據(jù)BE=AB﹣AE即可求出BE的長(zhǎng)度．

試題解析：（1）證明：連接OD，如圖所示．

在Rt△ADE中，點(diǎn)O為AE的中心，

∴DO=AO=EO=AE，∴點(diǎn)D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．

又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAO，∴∠ADO=∠CAD，∴AC∥DO．

∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．

又∵OD為半徑，

∴BC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）解：∵在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，∴AB=5．

設(shè)OD=r，則BO=5﹣r．

∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，

∴，即，解得：r=，

∴BE=AB﹣AE=5﹣=．