Question

如圖1，正方形ABCD，△AMN是等腰Rt△，∠AMN=90°，當Rt△AMN繞點A旋轉時，邊AM、AN分別與BC（或延長線圖3）、CD（或延長線圖3）相交于點E、F，連接EF，小明與小紅在研究圖1時，發現有這么一個結論：EF=DF+BE；為了解決這個問題，小明與小紅，經過討論，采取了以下方案：延長CB到G，使BG=DF，連接AG，得到圖2，請你根據小明、小紅的思路，結合圖2，解決下列問題：
（1）證明：①△ADF≌△ABG；  ②EF=DF+BE；
（2）根據圖（3），①結論EF=DF+BE是否成立，如不成立，寫出三線段EF、DF、BE的數量關系并證明．②若CE=6，DF=2，求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

分析：（1）①根據正方形性質得出AD=AB，∠D=∠ABG，根據全等三角形的判定推出即可；②根據全等三角形的性質得出AF=AG，∠DAF=∠BAG，求出∠FAE=∠GAE，證△FAE≌△GAE，推出EF=GE即可；
（2）①EF=BE-DF，理由是：在BC上取BG=DF，連接AG，證△ABG≌△ADF，△FAE≌△EAG即可；②設正方形ABCD的邊長是x，則BC=CD=x，EF=GE=BC-BG+CE=x+4，在Rt△FCE中，由勾股定理得出方程（x+4）²=（x+2）²+6²，求出即可．

解答：（1）①證明：延長CB到G，使BG=DF，連接AG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABC=∠DAB=∠ABG=90°，AD=AB，
在△ADF和△ABG中

AD=AB ∠D=∠ABG DF=BG

∴△ADF≌△ABG（SAS）；

②∵△ADF≌△ABG，
∴AF=AG，∠DAF=∠BAG，
∵△AMN是等腰直角三角形，
∴∠NAM=∠N=45°，
∵∠DAB=90°，
∴∠DAF+∠EAB=90°-45°=45°，
∴∠EAB+∠BAG=45°，
∴∠FAE=∠GAE=45°，
在△FAE和△GAE中

AF=AG ∠FAE=∠GAE AE=AE

∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴EF=EG=BE+BG，
∵BG=DF，
∴EF=DF+BE．
  
（2）①不成立，三線段EF、DF、BE的數量關系是EF=BE-DF，
證明：在BC上取BG=DF，連接AG，
在△ABG和△ADF中

AB=AD ∠B=∠ADF BG=DF

∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AF=AG，∠DAF=∠BAG，
∵△AMN是等腰直角三角形，
∴∠NAM=∠N=45°，
∴∠FAD+∠DAC=45°，
∴∠DAC+∠BAG=45°，
∵∠DAB=90°，
∴∠GAE=90°-45°=45°=∠FAE，
在△FAE和△GAE中

AF=AG ∠FAE=∠GAE AE=AE

∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴EF=EG=BE-BG，
∵BG=DF，
∴EF=BE-DF．

 ②解：設正方形ABCD的邊長是x，則BC=CD=x，
∵CE=6，DF=BG=2，
∴EF=GE=CG+CE=BC-BG+CE=x-2+6=x+4，
在Rt△FCE中，由勾股定理得：EF²=FC²+CE²，
∴（x+4）²=（x+2）²+6²，
解得：x=6，
即正方形ABCD的邊長是6．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，正方形的性質，勾股定理的應用，主要考查學生的推理能力，證明過程類似．