Question

如圖，已知AB是圓O的直徑，DC是圓O的切線，點C是切點，AD⊥DC垂足為D，且與圓O相交于點E．
（1）求證：∠DAC=∠BAC，
（2）若圓O的直徑為5cm，EC=3cm，求AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，推出OC⊥DC，求出AD∥OC，得出∠DAC=∠BAC=∠OCA，即可得出答案；
（2）根據∠DAC=∠BAC推出EC=BC=3，在△ACB中根據勾股定理求出AC即可．
解答：（1）證明：連接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠BAC．

（2）解：∵∠DAC=∠BAC，
∴EC=BC=3，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC==4，
答：AC的長是4．
點評：本題考查了勾股定理，平行線性質，切線的性質，圓周角定理等知識點的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目比較典型，難度適中．