Question

如圖，拋物線y=-

1

8

x²+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且拋物線的對稱軸為直線x=1，設∠ABC=α，且cosα=

4

5

．
（1）求這條拋物線的函數關系式；
（2）動點P從點A出發，沿A→B→C方向，向點C運動；動點Q從點B出發，沿射線BC方向運動．若P、Q兩點同時出發，運動速度均為1個單位長度/秒，當點P到達點C時，整個運動隨之結束，設運動時間為t秒．
①試求△APQ的面積S與t之間的函數關系式，并指出自變量t的取值范圍；
②在運動過程中，是否存在這樣的t的值，使得△APQ是以AP為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的對稱軸為直線x=1，得出b的值，再利用cosα=

4

5

得出c的值，即可得出答案；
（2）①利用如圖1，0＜t≤14，得出s=

1

2

t×

3

5

t=

3

10

t²，以及14≤t≤24，分別求出即可；
②利用當AP=AQ，以及當AP=PQ，利用勾股定理求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴-

b

2a

=1，∴b=

1

4

．∴y=-

1

8

x²+

1

4

x+c；
∵∠ABC=α，且cosα=

4

5

．∴tanα=

3

4

，
∴BO=

4

3

C，CO=c，
∴B（

4

3

c，0）．
代入解析式0=-

1

8

×

16

9

c2+

1

4

×

4

3

c+c，
∴c=6，
∴y=-

1

8

x²+

1

4

x+6；

（2）①令y=0，x²-2x-48=0，
x₁=8，x₂=-6，
∴A（-6，0），B（8，0），C（0，6）；
如圖1，0＜t≤14，
s=

1

2

t×

3

5

t=

3

10

t²，
如圖2，
14≤t≤24，
∵PQ=AB=6+8=14，
AH=

3

5

AB=

42

5

，
∴S=

1

2

×14×

42

5

=

294

5

，
∴S=

3 10 t2    (0＜t≤14) 294 5 (14≤t≤24)

②如圖3，0＜t≤14，
當AP=AQ，
∴AP²=AQ²，
t²=（

3

5

t）²+（14-

4

5

t）²，
t=

35

4

，
當AP=PQ，
AP²=PQ²，
t²=（

3

5

t）²+[

4

5

t-（14-

4

5

t）]²，
解得：t=14或t=

70

13

（不合題意舍去），
如圖4，14≤t≤24，
AP=AQ，
AP²=AQ²，
∴AP²=PQ²，
[

3

5

（t-14）]²+[14-（t-14）×

4

5

]²=(

3

5

t) 2+（14-

4

5

t）²，
t=

91

5

，
AP=PQ，
AP²=PQ²，
[

3

5

（t-14）]²+[14-（t-14）×

4

5

]²=14²，
∴t=14或t=

182

5

（不合題意舍去），
∴綜上所述：t=

35

4

，t=

91

5

或t=14時，△APQ是以AP為一腰的等腰三角形．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用，根據已知假設當AP=AQ，以及當AP=PQ進行分類討論是解決問題的關鍵．