Question

工人師傅為了檢測該廠生產的一種鐵球的大小是否符合要求，設計了一個如圖1所示的工件槽，其中工件槽的兩個底角均為90°，尺寸如圖（單位：cm）．將形狀規則的鐵球放入槽內時，若同時具有圖1所示的A，B，E三個接觸點，該球的大小就符合要求．圖2是過球心O及A，B，E三個接觸點的截面示意圖．已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點E，AC⊥CD，BD⊥CD．請你結合圖1中的數據，計算這種鐵球的直徑．

Answer 1

【答案】分析：連接OA、OE，設OE與AB交于點P．得到四邊形ABDC是矩形，然后根據垂徑定理得到PA=PB，PE=AC；然后根據已知條件利用勾股定理求出⊙O的半徑OA的值，進而計算出這種鐵球的直徑．
解答：解：連接OA、OE，設OE與AB交于點P．如圖
∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD
∴四邊形ABDC是矩形
∵CD與⊙O切于點E，OE為⊙O的半徑
∴OE⊥CD
∴OE⊥AB
∴PA=PB
∴PE=AC
∵AB=CD=16cm，∴PA=8cm，
∵AC=BD=PE=4cm，
在Rt△OAP中，由勾股定理得OA²=PA²+OP²
即OA²=8²+（OA-4）²
∴解得OA=10cm，所以這種鐵球的直徑為20cm．
點評：本題考查了矩形的性質，垂徑定理，以及勾股定理．