Question

如圖，已知矩形ABCD，CN平分∠DCM，E為BC邊上一點，EF⊥AE交CN于點F，以AE，EF為邊作矩形AEFH．
（1）若ABCD為正方形，求證：AEFH也為正方形；
（2）若AB=8，BC=10，BE=6，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）在AB上截取AP=EC，連接PE；證△APE≌△FEC，得，AE=EF，證AEFH也為正方形；
（2）過點F作BM的垂線，垂足為Q，設CQ=x，由△ABE∽△EQF，可得關于x的方程，從而求得EF．

解答：解：（1）如圖，在AB上截取AP=EC，連接PE；（1分）
SAS證△APE≌△FEC得，AE=EF，（2分）
證AEFH也為正方形（3分）

（2）如圖，過點F作BM的垂線，垂足為Q．（4分）
設CQ=x，
由△ABE∽△EQF，可得

x

4+x

=

6

8

，（6分）
解得x=12，（7分）
則EF=20．（8分）

點評：本題是基礎題，考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質以及正方形的判定和性質．