Question

（2009•包頭）已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，與y軸的正半軸的交點在（0，2）的下方．下列結論：①4a-2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a-b+1＞0．其中正確結論的個數是    個．

Answer 1

【答案】分析：本題依據二次函數圖象的畫法、識別理解，方程根與系數的關系等知識和數形結合能力仔細分析即可解．
解答：解：①根據題意畫大致圖象如圖所示，
由y=ax²+bx+c與X軸的交點坐標為（-2，0）得：
a×（-2）²+b×（-2 ）+c=0，即4a-2b+c=0，
所以正確；
②由圖象開口向下知a＜0，
由y=ax²+bx+c與X軸的另一個交點坐標為（x₁，0 ），且1＜x₁＜2，
則該拋物線的對稱軸為，即＜1，
由a＜0，兩邊都乘以a得：b＞a，
∵a＜0，對稱軸x=-＜0，
∴b＜0，
∴a＜b＜0．故正確；
③由一元二次方程根與系數的關系知，結合a＜0得2a+c＞0，所以結論正確，
④由4a-2b+c=0得，而0＜c＜2，∴∴-1＜2a-b＜0∴2a-b+1＞0，所以結論正確．
故填正確結論的個數是4個．
點評：規律總結：4a-2b+c=0是否成立，也就是判斷當x=-2時，y=ax²+bx+c的函數值是否為0；判斷y=ax²+bx+c中a符號利用拋物線的開口方向來判斷，開口向上a＞0，開口向下a＜0；判斷a、b的小關系時，可利用對稱軸的值的情況來判斷；判斷a、c的關系時，可利用由一元二次方程根與系數的關系的值的范圍來判斷；2a-b+1的值情況可用4a-2b+c=0來判斷．