Question

（2009•贛州二模）如圖：P是反比例函數y=（k＞0）圖象在第一象限上的一個動點，過P作x軸的垂線，垂足為M，已知△POM的面積為2．
（1）求k的值；
（2）若直線y=x與反比例函數y=的圖象在第一象限內交于點A，求過點A和點B（0，-2）的直線表達式；
（3）過A作AC⊥y軸于點C，若△ABC與△POM相似，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出點P的坐標，用它表示出三角形的面積，反比例函數的比例系數=這點橫縱坐標的積；
（2）讓正比例函數和反比例函數組成方程組求出在第一象限的交點A，把A，B兩點代入一次函數解析式即可；
（3）直角相等是固定的，當另兩對角的對應是不固定的，所以應分兩種情況進行討論．
解答：解：（1）∵△POM的面積為2，
設P（x，y），
∴xy=2，即xy=4，
∴k=4；

（2）解方程組，得，或，
∵點A在第一象限，
∴A（2，2），（3分）
設直線AB的表達式為y=mx+n，
將A（2，2）B（0，-2）代入得：解之得，
∴直線AB的表達式為y=2x-2；

（3）①若△ABC∽△POM，則有PM：OM=AC：AB=2：4=1：2，
又PM•OM=2，即×2PM•PM=2，得PM=∴P（2，）；
②若△ABC∽△OPM，同上述方法，易得OM=，∴P（，2），
∴符合條件的點P有（2，）或（，2）．（9分）
點評：反比例函數的比例系數等于它上面的點的橫縱坐標的積；求一次函數的解析式需知道它上面的兩個點的坐標；當沒有給出相似三角形的對應頂點時，需注意分情況探討．