Question

若六邊形的周長等于20，各邊長都是整數，且以它的任意三條邊為邊都不能構成三角形，那么，這樣的六邊形

1. A.
   不存在
2. B.
   只有一個
3. C.
   有有限個，但不只一個
4. D.
   有無窮多個

Answer 1

D
分析：首先根據題意找到符合條件的一組數，再根據六邊形的不穩定性，確定這樣的六邊形有無窮多個．
解答：若能找到6個整數a₁，a₂，…，a₆，使滿足
（1）a₁+a₂+…+a₆=20；
（2）a₁≤a₂，a₁+a₂≤a₃，a₁+a₂≤a₃；a₁+a₂≤a₃，a₁+a₂≤a₃；
（3）a₁+a₂+a₃+a₄+a₅＞a₆．
則以a₁，a₂，…，a₆為邊長的六邊形，即可符合要求．
現取a₁=a₂=1，a₃=2，a₄=3，a₅=5，a₆=8，則a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆滿足全部條件．
故這樣的六邊形至少存在一個．
又由n邊形（n≥4）的不穩定性，即知這樣的六邊形有無窮多個．
故選D．
點評：此題綜合考查了三角形的三邊關系和六邊形的不穩定性．