Question

我們將1×2×3×…×n記作n!，如：5!=1×2×3×4×5；100!=1×2×3×…×100；若設(shè)S=1×1!+2×2!+3×3!+…+2007×2007!，則S除以2008的余數(shù)是（ ）
A．0
B．1
C．1004
D．2007

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)S的特點(diǎn)，再加上一列K=1!+2!+3!+…+2007!后不含系數(shù)的n!的形式的和的形式整理就可以得到意想不到的效果．
解答：解：設(shè)K=1!+2!+3!+…+2007!，
則S+K=1×1!+2×2!+3×3!+…+2007×2007!+1!+2!+3!+…+2007!
=（1+1）1!+（2+1）2!+（3+1）3!+…+（2007+1）2007!
=2×1!+3×2!+4×3!+…+2007×2006!+2008×2007!
=2!+3!+…+2007!+2008×2007!
=-1+1!+2!+3!+…+2007!+2008×2007!
=-1+K+2008×2007!，
∴S=2008×2007!-1，
=2008!-1，
∴S除以2008的余數(shù)是-1，即S再加上1則能被2008整除，
∴商減小1，則余數(shù)為2007．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題是信息給予題，提供一列K=1!+2!+3!+…+2007!，再通過整理去掉這列數(shù)是解本題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．這就要求同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中積累經(jīng)驗(yàn)，提高自身能力．