Question

如圖，已知△ABC．
（1）根據要求畫圖：在圖中找出點P，使點P到∠B兩邊的距離相等，且使PA=PC；
（2）連結PA、PC，如果∠ABC=60°，求∠APC．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先做AC的垂直平分線，再作∠B的角平分線，兩線的交點就是P點；
（2）過點P作PM⊥AB，垂足為M；過點P作PN⊥BC，垂足為N，根據角平分線的性質可得PM=PN，根據線段垂直平分線的性質可得PA=PC，進而可證出Rt△AMP≌Rt△CNP，可得∠MPA=∠NPC．進而可證出∠APC=∠MPN，再根據四邊形內角和即可得到答案．
解答：解：（1）如圖所示：

（2）過點P作PM⊥AB，垂足為M；過點P作PN⊥BC，垂足為N．
∵BP平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，
∴PM=PN，∠AMP=∠CNP=90°，
∵PH垂直平分AC，
∴AP=PC，
∵在Rt△AMP和Rt△CNP中，
，
∴Rt△AMP≌Rt△CNP（HL）．
∴∠MPA=∠NPC．
∴∠APC=∠NPC+∠APN=∠MPA+∠APN=∠MPN．
∵∠ABC=60°，∠AMP=∠CNP=90°，
∴∠APC=∠MPN=120°．
點評：此題主要考查了復雜作圖，以及角的計算，全等三角形的判定與性質，關鍵是正確畫出圖形，掌握角平分線與線段垂直平分線的性質．