Question

如圖甲，在菱形ABCD中，AC與BD交于O，AC=8，AD=5，DE⊥CD，垂足為E，交AC于F．
（1）填空：△ODF∽△

OCD（答案不唯一）

（只寫(xiě)一個(gè)三角形）；
（2）求OF的長(zhǎng)；
（3）△DCE沿ED剪下，再把△DCE繞EC翻轉(zhuǎn)，平移拼接成如圖乙所示（拼接后D、E兩點(diǎn)正好交換位置），判斷此時(shí)四邊形ABDC是什么特殊四邊形（不證明）？并求圖乙中的AC長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）先由菱形的性質(zhì)得出∠ACD=∠ACB，由對(duì)頂角的性質(zhì)得出∠AFD=∠CFE，再由直角三角形的性質(zhì)得出∠ODF=∠ACD，故可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)AC=8，AD=5求出OD的長(zhǎng)，由（1）可知△ODF∽△OCD，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出OF的長(zhǎng)；
（3）先根據(jù)菱形的性質(zhì)判斷出四邊形ABDC的形狀，再得出DE的長(zhǎng)，在Rt△DEC中利用勾股定理可求出CE的長(zhǎng)，故可得出AC的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ACD=∠ACB，
∵DE⊥BC，
∴∠ACB+∠CFE=90°，
∵∠DFO+∠ODF=90°，∠CFE=∠DFE，
∴∠ODF=∠ACB，
∴∠ODF=∠ACD，
∴：△ODF∽△OCD，
故答案為：△OCD（答案不唯一）；

（2）在菱形ABCD中，
∵BD⊥AC，AC=8，AD=5，
∴OA=4，OD=3，
由（1）知，△ODF∽△OCD，
∴

OD

OC

=

OF

OD

，即3²=4×OF，解得，OF=

9

4

；

（3）在圖乙中，
∵AC∥BD，AB=CD，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∵DE•BC=

1

2

AC•BD=

1

2

×6×8，解得DE=

24

5

，
在Rt△DEC中，
∵DE²+CE²=CD²，即（

24

5

）²+CE²=25，解得CE=

7

5

，
∴AC=AE+CE=5+

7

5

=

32

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、菱形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，熟知菱形的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．