Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，當線段AB與坐標軸不垂直時，以線段AB為斜邊作Rt△ABC，且邊BC⊥x軸，則稱AC+BC的值為線段AB的直角距離，記作L（AB）；當線段AB與坐標軸垂直時，線段AB的直角距離不存在．

（1）在平面直角坐標系中，A（1，4），B（4，2），求L（AB）．

（2）在平面直角坐標系中，點A與坐標原點重合，點B（x，y），且L（AB）＝2．

①當點B（x，y）在第一象限時，易知AC＝x，BC＝y．由AC+BC＝L（AB），可得y與x之間的函數關系式為　 　，其中x的取值范圍是　 　，在圖②中畫出這個函數的圖象．

②請模仿①的思考過程，分別探究點B在其它象限的情形，仍然在圖②中分別畫出點B在二、三、四象限時，y與x的函數圖象．（不要求寫出探究過程）

（3）在平面直角坐標系中，點A（1，1），在拋物線y＝a（x﹣h）2+5上存在點B，使得2≤L（AB）≤4．

①當a＝﹣時，直接寫出h的取值范圍．

②當h＝0，且△ABC是等腰直角三角形時，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）①y＝－x+2，0＜x＜2，圖象詳見解析；②y＝x+2或y＝－x－2或y＝x－2，圖象詳見解析；（3）①或或或；②或．

【解析】

（1）根據定義直接計算即可；

（2）①由A(0，0)，B(x，y)，且點B(x，y)在第一象限，L(AB)＝2，易得：x+y＝2，從而得到答案；

②根據點A、B坐標及點B所在象限，L(AB)＝2，分象限討論即可得出答案畫出圖形；

（3）①先求出特殊情況時對應的h，令－(x－h)2+5＝1，得x＝h+4或x＝h－4，再分情況討論，構建不等式解決問題即可；

②由是等腰直角三角形，且2≤L(AB)≤4，利用特殊點，分別求解即可．

解：（1）∵A(1，4)，B(4，2)，

∴L(AB)＝AC+BC＝（4－1）+（4－2）＝5；

（2）①∵A(0，0)，B(x，y)，且點B在第一象限，L(AB)＝2，

∴x+y＝2，

∴y＝－x+2，（0＜x＜2），圖象如圖所示；

故答案為：y＝－x+2，0＜x＜2；

②當B在第二象限時，－x+y＝2，

∴y＝x+2，圖象如圖所示；

當B在第三象限時，－x－y＝2，

∴y＝－x－2，圖象如圖所示；

當B在第四象限，x－y＝2，

∴y＝x－2，圖象如圖所示；

（3）①當－(x－h)2+5＝1時，x＝h+4或x＝h－4，

當時，即或時，2≤L(AB)≤4,

當時，即或時，2≤L(AB)≤4,

故h的取值范圍為：或或或；

②∵是等腰直角三角形，

∴AC=BC，

又∵L(AB)=AC+BC，且2≤L(AB)≤4，

∴1≤AB≤2，1≤BC≤2，

∴如圖，當拋物線經過B(2，2)時，L(A，B)＝2，此時2＝4a+5，解得a＝，

當拋物線經過B′(3，3)時，L(A，B)＝4，此時3＝9a+5，解得a＝，

當拋物線經過B″(－1，3)時，L(A，B)＝4，此時3＝a+5，解得a＝－2，

觀察圖象可知，滿足條件的a的值為：或．