Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且始終保持AD=CE．連接DE、DF、EF．
（1）求證：△ADF≌△CEF；
（2）試證明△DFE是等腰直角三角形．

Answer 1

分析：（1）根據在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，利用F是AB中點，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，即可證明：△ADF≌△CEF．
（2）利用△ADF≌△CEF，∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，和∠AFC=90°即可證明△DFE是等腰直角三角形．

解答：證明：（1）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
又∵F是AB中點，
∴∠ACF=∠FCB=45°，
即，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，且AF=CF，
在△ADF與△CEF中，

AD=CE ∠A=∠FCE AF=CF

，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；

（2）由（1）可知△ADF≌△CEF，
∴DF=FE，
∴△DFE是等腰三角形，
又∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，
∴∠AFC=∠DFE，
∵∠AFC=90°，
∴∠DFE=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．

點評：此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質和等腰直角三角形的理解和掌握，稍微有點難度，屬于中檔題．