Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．
（1）求拋物線的解析式及直線AC的解析式；
（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作x軸的垂線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；
（3）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線中，易求出拋物線的解析式；將C點橫坐標代入拋物線的解析式中，即可求出C點的坐標，再由待定系數法可求出直線AC的解析式．
（2）PE的長實際是直線AC與拋物線的函數值的差，可設P點的橫坐標為x，用x分別表示出P、E的縱坐標，即可得到關于PE的長、x的函數關系式，根據所得函數的性質即可求得PE的最大值．
（3）此題要分兩種情況：①以AC為邊，②以AC為對角線．確定平行四邊形后，可直接利用平行四邊形的性質求出F點的坐標．
解答：解：（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=x²+bx+c，
得b=-2，c=-3；
∴y=x²-2x-3．
將C點的橫坐標x=2代入y=x²-2x-3，
得y=-3，
∴C（2，-3）；
∴直線AC的函數解析式是y=-x-1．

（2）設P點的橫坐標為x（-1≤x≤2），
則P、E的坐標分別為：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3）；
∵P點在E點的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2，
∴當x=時，PE的最大值=．

（3）存在4個這樣的點F，分別是F₁（1，0），F₂（-3，0），F₃（4+，0），F₄（4-，0）．
①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點，
∵C（2，-3），G（0，-3）
∴CG∥X軸，此時AF=CG=2，
∴F點的坐標是（-3，0）；

②如圖，AF=CG=2，A點的坐標為（-1，0），因此F點的坐標為（1，0）；

③如圖，此時C，G兩點的縱坐標關于x軸對稱，因此G點的縱坐標為3，代入拋物線中即可得出G點的坐標為（1±，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設直線GF的解析式為y=-x+h，將G點代入后可得出直線的解析式為y=-x+4+．因此直線GF與x軸的交點F的坐標為（4+，0）；

④如圖，同③可求出F的坐標為（4-，0）；

綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點．
點評：此題考查了一次函數、二次函數解析式的確定、二次函數的應用、平行四邊形的判定和性質等知識，（3）題應將所有的情況都考慮到，不要漏解．