Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，以點B為圓心，以為半徑作圓．
（1）設點P為⊙B上的一個動點，線段CP繞著點C順時針旋轉90°，得到線段CD，連接DA，DB，PB，如圖2．求證：AD=BP；
（2）在（1）的條件下，若∠CPB=135°，則BD=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據SAS即可證明△ACD≌△BCP，再根據全等三角形的性質可得AD=BP；
（2）分P點在BC上面和P點在BC下面兩種情況討論可得BD的長；
（3）當∠PBC=135°時，BD有最大值；當∠PBC=45°時，BD有最小值．
解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，∠DCP=90°，
∴∠ACD=∠BCP
在△ACD與△BCP中，
∵，
∴△ACD≌△BCP（SAS）
∴AD=BP；

（2）解：在（1）的條件下，若∠CPB=135°，則BD=或2；

（3）解：當∠PBC=135°時，BD有最大值，且最大值為；
當∠PBC=45°時，BD有最小值，且最小值為 ．
故答案為：或2；135，；45，．
點評：考查了圓的綜合題，涉及的知識有全等三角形的判定與性質，分類思想的運用，最大值與最小值，注意分析問題要全面，以免漏解，有一定的難度．