Question

如圖，直線y=hx+d與x軸和y軸分別相交于點A(-1,0),B(0,1),與雙曲線y=在第一象限相交于點C；以AC為斜邊、為內角的直角三角形，與以CO為對角線、一邊在x軸上的矩形面積相等；點C,P在以B為頂點的拋物線y=上；直線y=hx+d、雙曲線y=和拋物線同時經過兩個不同的點C，D

（1）確定t的值

（2）確定m , n , k的值

（3）若無論a , b , c何值，拋物線都不經點P，請確定P坐標（12分）

 

Answer 1

 

（1）2

（2）m=1 n=0 k=1

（3）符合條件的點P為（0，1）或（－2，5）

解析:解：

（1）直線過點A，B，則0=－h+d和1=d,即y=x+1.    1分

雙曲線y=經過點C（x1，y1），x1y1=t．

     以AC為斜邊，∠CAO為內角的直角三角形的面積為×y1×(1+x1);

以CO為對角線的矩形面積為x1y1，

×y1×(1+x1)＝x1y1，因為x1，y1都不等于0，故得x1＝1，所以y1=2.

故有，，即t=2.     2分

（2）∵B是拋物線y＝mx2＋nx＋k的頂點，∴有－ ，

得到n=0，k=1.   3分

∵C是拋物線y＝mx2＋nx＋k上的點，∴有2＝m(1)2+1,得m=1．    4分

（3）設點P的橫坐標為p，則縱坐標為p2+1.

∵拋物線y=ax2+bx+c經過兩個不同的點C，D，

其中求得D點坐標為（－2，－1）． 5分.

解法一：

故 2＝a＋b＋c，

－1＝4a－2b＋c．    

解之得，b＝a＋1, c＝1－2a. 6分

（說明：如用b表示a，c，或用c表示a，b，均可，后續參照得分）

∴y=ax2＋( a＋1)x＋（1－2a ）       

于是： p2+1≠a p2＋（a＋1）p＋（1－2a）    7分

∴無論a取什么值都有p2－p≠（p2＋p－2）a．  8分

（或者，令p2-p=(p2+p-2)a    7分

∵拋物線y=ax2+bx+c不經過P點，

∴此方程無解，或有解但不合題意  8分） 

故∵a≠０，∴①

解之p＝0，p＝1，并且p≠1，p≠－2.得p＝0.   9分

∴符合題意的P點為（0，1）. …………10分

②，解之p＝1，p＝－2，并且p≠0，p≠1.

得p＝－2.   11分

符合題意的P點為（－2，5）． 12分

∴符合題意的P點有兩個（0，1）和（－2，5）.

解法二：

則有（a－1）p2+(a+1) p－2a=0    7分

即〔（a－1）p+2a〕(p－1)=0

有p－1=0時，得p=1，為（1，2）此即C點，在y=ax2+bx+c上.    8分

或（a－1）p+2a=0，即（p+2）a=p

當p=0時a=0與a≠0矛盾 9分

得點P（0，1）   10分

或者p=－2時，無解  11分

得點P（－2，5） 12分

故對任意a，b，c，拋物線y=ax2+bx+c都不經過（0，1）和（－2，5）

解法三：

如圖, 拋物線y=ax2+bx+c不經過直線CD上除C，D外的其他點．

(只經過直線CD上的C，D點). 6分

由 7分

解得交點為C（1，2），B（0，1）．

故符合題意的點P為（0，1）.     8分

拋物線y=ax2+bx+c不經過直線x＝－2上除D外的其他點. 9分

由     10分

解得交點P為（－2，5）．……11分

拋物線y=ax2+bx+c不經過直線x＝1上除C外的其他點,

而解得交點為C（1，2）. ……12分

故符合條件的點P為（0，1）或（－2，5）.

（說明：1.僅由圖形看出一個點的坐標給1分，二個給2分. 2.解題過程敘述基本清楚即可）